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ANALISI MATEMATICA 1 (ING. BIOM. 2020-2021)

(INGEGNERIA BIOMEDICA 2020-2021) Analisi Matematica 1

IMPORTANTE:

fruizione e utilizzo dei materiali didattici

CANALE TELEGRAM: https://t.me/npintus


COME SCRIVERE UNA MAIL:

ci sono 4 regole fondamentali per scrivere una buona mail:

  1. Scrivere alla mail istituzionale nicola.pintus@unica.it
  2. Oggetto della mail: riassume in una parola o in una piccola frase il contenuto della mail
  3. Presentazione: scrivere chi siete (nome e cognome, corso di laurea di appartenenza). Avendo tanti corsi, è meglio specificare il CdL per evitare confusione di programma nelle risposte.
  4. Chiarezza espositiva

Una mail priva di questi 4 punti di base non troverà risposta.

Orario delle lezioni (dal 05/10/20 al 22/12/20):

lunedì 17.30-20aula 1 (solo per chi ha scelto di seguire in presenza)
mercoledì 15-17.30aula 1 (solo per chi ha scelto di seguire in presenza)
giovedì 15-17.30aula 1 (solo per chi ha scelto di seguire in presenza)

Registro delle lezioni:

  1. (05/10/2020 (3 ore-3/90)) Presentazione del corso e descrizione dettagliata delle modalità d’esame. Concetto di insieme.
  2. (07/10/2020 (3 ore-6/90)) Connettivi logici e tavole di verità. Concetto di insieme, sottoinsieme, insieme vuoto, insieme delle parti. Esempi. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza e complementare. Prodotto cartesiano. Esempi. Cenni agli insiemi numerici. La radice quadrata di 2 non è un numero razionale (con dimostrazione).
  3. (08/10/2020 (3 ore-9/90)) Relazione d’ordine, buon ordine, ordine totale. Esempi. Principio di induzione. Somma dei primi n numeri naturali (con dimostrazione). Definizione di funzione, dominio e codominio, immagine e controimmagine. Esempi. Funzioni iniettive, suriettive, bigettive. Esempi. Funzione identità. Funzioni composte. Esempi.
  4. (12/10/2020 (3 ore-12/90)) Funzione invertibile. Esempi. Definizione di: maggiorante e minorante, estremo superiore e inferiore, intervalli limitati e illimitati, intorni, punti interni, esterni, di frontiera, di accumulazione, insiemi chiusi e aperti, intervalli. Esempi sulle nozioni introdotte. Proposizione sull’unione infinita di aperti e intersezione finita di aperti (con dimostrazione).
  5. (14/10/2020 (3 ore-15/90)) Teorema di Bolzano-Weierstrass (senza dimostrazione). Definizione di grafico di una funzione reale di variabile reale. Metodo grafico per capire se una funzione è iniettiva, suriettiva, bigettiva. Esempi. Definizione di funzione limitata, pari, dispari, periodica. Esempi. Funzione potenza con esponente intero positivo, funzione radice, funzione esponenziale, funzione logaritmo.
  6. (15/10/2020 (3 ore-18/90)) Cerchio goniometrico e funzioni goniometriche. Inverse delle funzioni goniometriche. Funzione valore assoluto. Esercizi sul dominio di funzioni.
  7. (19/10/2020 (3 ore-21/90)) Esercizi sul dominio di funzioni. Concetto di limite: definizione e trasposizione grafica. Casi: limite finito per x che tende a un numero finito, limite infinito per x che tende a un numero finito, limito finito per x che tende a infinito, limite infinito per x che tende a infinito. Teorema di unicità del limite (con dimostrazione).
  8. (21/10/2020 (3 ore-24/90)) Condizione necessaria e sufficiente di esistenza del limite (senza dimostrazione). Teorema di permanenza del segno (senza dimostrazione). Inverso del teorema della permanenza del segno (senza dimostrazione). Limiti notevoli delle funzioni elementari. Algebra dei limiti. Parziale aritmetizzazione dell’infinito e dell’infinitesimo. Limite della funzione composta. Esempi. Definizione di funzione continua.
  9. (22/10/2020 (3 ore-27/90)) Richiami sul concetto di limite e sulla funzione continua. Esempi di funzioni continue. Teorema del confronto (senza dimostrazione). Teorema dei due carabinieri (senza dimostrazione). Dimostrazione che limite per x che tende a 0 di sin x/x è 1. Limiti notevoli. Esercizi. Definizione di funzione infinita e infinitesima. Forma indeterminata infinito meno infinito.
  10. (26/10/2020 (3 ore-30/90)) Esercizi su infinito meno infinito. Raggruppamento dell’infinito di ordine maggiore. Forma indeterminata infinito su infinito. Gerarchia degli infiniti. Rapporto di due logaritmi con base diversa. Esercizi. Forma indeterminata 0 su 0. Velocità degli infinitesimi. Esercizi.
  11. (28/10/2020 (3 ore-33/90)) Limiti notevoli generalizzati. Esercizi. Definizione di continuità e discontinuità. Punti di discontinuità. Esempi.
  12. (29/10/2020 (3 ore-36/90)) Esempi sulle discontinuità. Teoremi sulle funzioni continue. Esempi e esercizi.
  13. (02/11/2020 (3 ore-39/90)) Soluzione approssimata di una equazione non risolvibile con tecniche algebriche standard. Concetto di continuità uniforme. Esempi. Successioni numeriche. Successioni regolari e irregolari. Esempi. Successioni limitate. Esempi. Sottosuccessioni. Il limite di una successione è unico (senza dimostrazione). Il limite di una sottosuccessione è uguale al limite della successione (senza dimostrazione). Successioni monotone. Le successioni monotone sono tutte regolari (senza dimostrazione). Progressione geometrica. Una successione convergente (divergente) è limitata (illimitata) (senza dimostrazione). Una successione limitata e monotona è convergente (senza dimostrazione). Una successione monotona non è irregolare (senza dimostrazione).
  14. (04/11/2020 (3 ore-42/90)) Definizione di n fattoriale. Definizione di derivata di una funzione in un punto. La funzione derivata. Classi di funzioni continue e derivabili. Derivata delle funzioni elementari usando la definizione. Legame tra derivabilità e continuità (con dimostrazione). Punti di non derivabilità ed esempi: punto angoloso, punto di flesso a tangente verticale, punto di cuspide.
  15. (05/11/2020 (3 ore-45/90)) Algebra delle derivate (senza dimostrazione). Esempi di applicazione. Derivata delle funzioni elementari (da dimostrare per esercizio). Derivata della funzione inversa. Esempi. Derivata della funzione composta. Esempi. Definizione di punto di minimo e massimo relativo, di punto di estremo relativo, di punto stazionario, di punto critico, di funzione crescente e decrescente, di funzione strettamente crescente e strettamente decrescente, di funzione monotona e strettamente monotona. Teorema di Fermat (con dimostrazione).
  16. (09/11/2020 (3 ore-48/90)) Esempi sul teorema di Fermat. Teorema di Rolle (con dimostrazione) e di Lagrange (con dimostrazione). Esempi di applicazione. Interpretazione geometrica del teorema di Lagrange. Test di monotonia (con dimostrazione). Ricerca di massimi e minimi relativi e assoluti. Esercizi.
  17. (11/11/2020 (3 ore-51/90)) Esercizi su massimi e minimi assoluti. Concavità e convessità di una funzione. Dimostrazione della convessità di y=x^2. Concavità di una funzione in base al segno della derivata seconda (senza dimostrazione). Punti di flesso e classificazione. Esempi. Funzione lipschitziana. Se f è derivabile, f lipschitziana se e solo se f’ è limitata (con dimostrazione). Esempi di funzioni lipschitziana e non.
  18. (12/11/2020 (3 ore-54/90)) Teoremi sulla lipschitzianità (senza dimostrazione). Legami tra derivabilità, lipschitzianità, continuità uniforme e continuità. Teorema di de l’Hospital (senza dimostrazione). Applicazione del teorema per lo scioglimento di alcune forme indeterminate. Esercizi. Polinomio di Taylor: definizione  e interpretazione. Polinomio di grado n centrato in x=0 generato dalle funzioni: sin x, cos x, e^x, ln(1+x).
  19. (23/11/2020 (3 ore-57/90)) Esercizi sullo sviluppo di Taylor. Definizione dell’errore di approssimazione. Errore nella forma di Peano. Esercizi. Polinomio di Taylor di una combinazione lineare di funzioni sviluppabili con Taylor. Polinomio di Taylor della funzione derivata. Esempi. Infinitesimi e infiniti campione. Esercizi. Calcolo di limiti usando gli sviluppi di Taylor.
  20. (25/11/2020 (3 ore-60/90)) Esercizi su limiti con Taylor e su infinitesimo campione. Studio di funzione.
  21. (26/11/2020 (3 ore-63/90)) Definizione di integrale secondo Riemann e interpretazione geometrica di integrale definito di una funzione non negativa. Esempi di calcolo di aree mediante le somme superiori e le somme inferiori. Classi di funzioni integrabili. Proprietà dell’integrale. Valor medio dell’integrale.
  22. (30/11/2020 (3 ore-66/90)) Teorema della media integrale e suo significato geometrico. Integrale indefinito e primitiva di una funzione integrabile. Teorema fondamentale del calcolo integrale (con dimostrazione).
  23. (02/12/2020 (3 ore-69/90)) Integrazione immediata, quasi-immediata, integrazione per sostituzione e integrazione per parti.
  24. (03/12/2020 (3 ore-72/90)) Integrazione di funzioni razionale fratte.
  25. (07/12/2020 (3 ore-75/90)) Calcolo di aree di regioni comprese tra due funzioni. Calcolo di volumi di solidi di rotazione. Integrali generalizzati di prima e seconda specie. Esercizi.
  26. (09/12/2020 (3 ore-78/90)) Esercizi su integrali impropri. Equazioni differenziali ordinarie. Problema di Cauchy. Esistenza e unicità locale della soluzione. Equazioni a variabili separabili e problema di Cauchy. Esercizi.
  27. (10/12/2020 (3 ore-81/90)) Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Dimostrazione formula risolutiva. Esercizi. Equazione di Bernoulli. Esercizi. Equazioni di Clairaut. Esercizi.
  28. (14/12/2020 (3 ore-84/90)) Equazioni differenziali lineari del secondo ordine omogenee. Ricerca dell’integrale generale. Esercizi. Cenni sui numeri complessi: definizione, forma algebrica, forma trigonometrica, forma esponenziale, rappresentazione di un numero complesso sul piano. Equazioni non omogenee: metodo della somiglianza. Esercizi.
  29. (16/12/2020 (3 ore-87/90)) Esercizi. Metodo della variazione delle costanti. Esercizi.
  30. (17/12/2020 (3 ore-90/90)) Problema di Cauchy del secondo ordine. Esercizi vari.
  31. (21/12/2020 (3 ore-93/90)) Applicazioni alle ODE. Esercizi.

Calendario del tutoraggio (dott. ssa Carla Cocco (online)):

Ogni mercoledì dalle 9 alle 12 su Microsoft Teams (codice uafubmk)

Testi d’esame + esiti:

Simulazione scritto Analisi 1 (in presenza)

scritto Moodle 12 gennaio 2021 – Esiti scritto Moodle 12 gennaio 2021

scritto Moodle 29 gennaio 2021 – Esiti scritto Moodle 29 gennaio 2021 – Calendario prove orali

scritto Moodle 26 febbraio 2021 – Esiti scritto Moodle 26 febbraio 2021 – Calendario prova orale

scritto 15 giugno 2021 – Esiti scritto 15 giugno 2021

scritto 29 giugno 2021 – Esiti scritto 29 giugno 2021

scritto 13 luglio 2021 – Esiti scritto 13 luglio 2021

scritto 07 settembre 2021 – Esiti scritto 07 settembre 2021

Prerequisiti:

Testi adottati:

Testi di consultazione:

Materiale didattico:

  • Insiemi e funzioni (revisione del 19/10/2020) (Fare tutti gli esercizi tranne 1.11. Dell’esercizio 1.10 leggere la teoria perché ci servirà per gli integrali.)
  • Topologia euclidea della retta (Fare tutti gli esercizi tranne 1.1)
  • Funzioni elementari (revisione del 19/10/2020)  (Fare tutti gli esercizi)
  • Limiti di funzioni in una variabile (revisione del 06/11/2020: corretto un errore sulla discontinuità eliminabile)
  • Successioni numeriche
  • Derivata di una funzione
  • Studio di funzione
  • Integrali
  • Equazioni Differenziali Ordinarie
  • Applicazioni alle ODE

Integrazione alle dispense:

Link alle registrazioni:

Si ricorda che, secondo quanto disposto nel D.R. 341/2020 del 24/03/2020 (art. 4), “E’ fatto divieto agli studenti fruitori di registrare, fare copia, elaborare o diffondere in alcun modo, nonché di utilizzare per altre finalità diverse da quelle didattiche o comunque con altre finalità e modalità non consentite dalla normativa, il materiale in teledidattica messo a disposizione dall’Ateneo”.