(INGEGNERIA BIOMEDICA 2019-2020) Analisi Matematica 2 |

PROVA MOODLE:

Turni prova Moodle 1 settembre 2020

Esiti test moodle 1 settembre 2020

APPELLO DI SETTEMBRE 2020:

1) La prova d’esame si compone di una prova su piattaforma Moodle (https://elearning.unica.it/course/view.php?id=413) e un successivo colloquio su piattaforma Teams (codice rrxzd3g)
2) La prova su piattaforma Moodle consterà di due esercizi (della stessa tipologia di quelli somministrati negli appelli di Gennaio e Febbraio) da svolgere in 45 minuti. La consegna dello svolgimento dei due esercizi dovrà avvenire tramite caricamento su Moodle entro i 45 minuti stabiliti.
4) La prova su Teams consisterà in un colloquio in cui verranno verranno poste domande su teoria ed esercizi.
5) Gli studenti la cui prova su Moodle non risulterà sufficiente non potranno accedere alla seconda prova su Teams.

AVVISO: in fondo alla pagina ho inserito la traccia di soluzione delle simulazioni A e B. Sono tracciati solo gli esercizi delle simulazioni che non sono stati svolti in classe. Ricordo che a lezione sono stati svolti molti esercizi, nonostante ci fosse il tutoraggio. Inoltre, ricordo che ho pubblicato sul sito e sul canale Telegram esercizi svolti durante i tutorati extra tenuti da me qualche sabato mattina. Su questa pagina trovate anche link a esercizi svolti.
Date queste premesse, non risponderò più a mail dove si chiedono soluzioni di esercizi che trovate svolti qui o che sono stati svolti a lezione.

SECONDO PARZIALE (ISCRIZIONE AUTOMATICA PER CHI HA SUPERATO IL PRIMO PARZIALE): martedì 7 gennaio 2020, ore 8.30, Aula 2

Orario delle lezioni (dal 25/09/19 al 23/12/19):

Martedì: 14-17 (Aula 2)
Giovedì: 15-17 (Aula 1)
Venerdì: 14-17 (Aula 2)

Calendario tutoraggio Analisi 2 Biomedica

Registro delle lezioni (si fa riferimento al libro adottato):

(26/09/2019-2 ore (2/80)) Introduzione al corso, spiegazione modalità d’esame, elenco dei libri di testo adottati e consigliati. Richiami sulle successioni numeriche, successione geometrica. Concetto di serie numerica, successione delle somme parziali. Definizione di somma della serie, serie convergente, divergente e indeterminata (Def. 1.2 pag.5). Convergenza della serie di termine generale (1/2^k) per k non negativo. Indeterminatezza della serie di segno alterno (-1)^k. Carattere della serie geometrica e somma della serie. Serie telescopiche: serie di Mengoli e somma, serie di ln(1+1(1/k)).
(27/09/2019-3 ore (5/80)) Condizione necessaria di convergenza (dimostrazione) (Proprietà 1.6 pag.8). Esempio che mostra il perchè non vale il viceversa. Definizione del resto n-esimo di una serie. Condizione necessaria di convergenza sul resto (Proprietà 1.8 pag.9). Serie a termini positivi e carattere (dimostrazione) (Proposizione 1.9 pag.9). Criterio del confronto (dimostrazione) (Teorema 1.10 pag.10). Esempio notevole: carattere della serie armonica di termine generale (1/k) e dimostrazione in 3 modi diversi (mediante confronto con ln(1+x), mediante il criterio di Cauchy, mediante il criterio integrale), carattere della serie di termine generale (1/k^2) e carattere della serie armonica generalizzata. Criterio del confronto asintotico (Teorema 1.12 pag.11) e applicazioni. Criterio del rapporto (dimostrazione) (Teorema 1.14 pag.12). Esempi.
(01/10/2019-3 ore (8/80)) Criterio della radice (dimostrazione analoga al criterio del rapporto) (Teorema 1.15 pag.13). Applicazioni. Esercizi sulle serie numeriche. Serie di segno alternato e criterio di Leibniz (Teorema 1.20 pag. 17). Definizione di convergenza assoluta (Def. 1.11 pag.18). Convergenza assoluta implica convergenza semplice (Teorema 1.24 pag.19). Controesempio del fatto che il viceversa non è vero. Esercizio su serie numerica con parametro.
(03/10/2019-2 ore (10/80)) Esercizi. Successioni di funzioni. Definizione di convergenza puntuale e di insieme di convergenza puntuale (Def. 2.1 pag.36). Esempi. Definizione di convergenza uniforme (Def. 2.3 pag.36). Convergenza uniforme implica convergenza puntuale (senza dimostrazione) (Prop. 2.4 pag.38). Controesempio sul viceversa (f_k=x^k). Proposizione 2.6 pag. 39.
(04/10/2019-3 ore (13/80)) Proprietà delle successioni uniformemente convergenti (senza dimostrazione)(Teorema 2.7 pag.39). Passaggio al limite sotto il segno di integrale (senza dimostrazione)(Pagg. 40-41. Passaggio al limite sotto il segno di derivata (senza dimostrazione)(Pagg. 41-42-43). Serie di funzioni (Pagg. 43-44-45). Integrazione e derivazione per serie (senza dimostrazione)(Pagg. 45-46). Criterio di Weierstrass. (senza dimostrazione)(Teorema 2.20 pag.46-47). Serie di potenze (pagg. 48-49-50-51-52-53-54-55. NO Proposizione 2.24 pag49 e serie binomiale pag.55) . Esercizi serie di potenze.
(08/10/2019-3 ore (16/80)) Serie somma di due serie di potenze con raggio di convergenza R-1 e R-2 (senza dimostrazione) (Teorema 2.35 pag.55). Serie derivata (Pag. 57). Derivazione e integrazione di serie di potenza (senza dimostrazione) (Teorema 2.39 pag. 58). Coefficienti di una serie di potenze (senza dimostrazione) (Prop. 2.41 pag.59). Definizione di funzione analitica (Pag. 60). Topologia di R^n: definizione di bolla di raggio R, punti interni, esterni e di frontiera. insieme aperto e chiuso. Esempi. Punto di accumulazione e isolato. Insieme limitato. Insieme compatto. Insieme convesso e connesso per archi. esempi. Componente connessa. Esempi. Funzioni reali di due variabili reali.
(11/10/2019-3 ore (19/80)) Campi di esistenza di funzioni in due variabili. Esempi. Definizione di limite di f(x,y) (Def. 4.24 pag.140). Prop. 4.20. Verifica della definizione. Verifica e calcolo di limiti (metodo delle rette e metodo delle coordinate polari) (Pagg. 141-144). Definizione di funzione continua in un punto del piano (Definizione 4.19 pag.137). Esempi e esercizi.
(15/10/2019-3 ore (22/80)) Derivate parziali prime e vettore gradiente. Derivata direzionale (Pagg.165-169). Definizione di differenziabilità. Piano tangente (Vedere miei appunti sotto e Pagg.169-171). Proposizione 5.7 (con dimostrazione). Proposizioni 5.8 e 5.9 (senza dimostrazione). Proposizione 5.10. Derivate seconde. Teorema di Schwarz (senza dimostrazione) (Pagg.178-181). Esercizi. Controesempio che la derivabilità non implica la differenziabilità.
(17/10/2019-2 ore (24/80)) Matrice hessiana (Pagg.178-181). Polinomio di Taylor di ordine 2. Definizione massimo e minimo relativo (Def. 5.22). Definizione di punto stazionario (Def. 5.25). Teorema di Fermat (Th. 5.26). Massimi e minimi relativi con autovalori (vedere miei appunti e Th. 5.28) (Pagg.188-194). Esercizi.
(18/10/2019-3 ore (27/80)) Massimi e mnimi studiando l’Hessiana (Pagg.188-194). Esercizi.
(19/10/2019-3 ore (30/80)) Esercizi su massimi e minimi relativi, assoluti e vincolati. Esercizi su limiti e differenziabilità.
(22/10/2019-3 ore (33/80)) Teorema della funzione implicita (Pagg. 275-279, escluso Teorema 7.4). Estremi vincolati (Pagg. 289-297, escluse dimostrazioni). Integrali doppi su rettangoli: definizione di cilindroide e di integrale doppio. Funzione integrabile secondo Riemann. Insiemi misurabili. Domini normali rispetto agli assi x e y. (Pagg. 313-332, saltando Def. 8.9, Th. 8.10, Proprietà 8.11 e 8.12, Def. 8.14, Th. 8.15).
(24/10/2019-2 ore (35/80)) Esercizi sugli integrali doppio con domini normali. Cambiamento di variabili in coordinate polari (senza dimostrazione). Concetto di area infinitesima. Determinante jacobiano. Esercizi.
(25/10/2019-3 ore (38/80)) Esercizi su serie, limiti, differenziabilità e integrali doppi.
(29/10/2019-3 ore (41/80)) Simulazione Primo parziale
(12/11/2019-3 ore (44/80)) Integrali tripli: costruzione mediante parallelepipedo. Funzione integrabile su un parallelepipedo. Funzione integrabile su un dominio che contiene un parallelepipedo. Definizione di insieme normale rispetto all’asse z. Integrazione per fili e per strati. (Pagg. 337-344). Esercizi
(14/11/2019-2 ore (46/80)) Esercizi su integrali tripli e integrazione per strati.
(15/11/2019-3 ore (49/80)) Cambiamenti di variabile negli integrali tripli: invertibilità del cambiamento di variabile e matrice jacobiana. Coordinate cilindriche e sferiche: costruzione e determinante jacobiano. Calcolo del volume della sfera di raggio a usando coordinate cartesiane, cilindriche e sferiche.
(19/11/2019-3 ore (52/80)) Esercizi sugli integrali tripli.
(21/11/2019-2 ore (54/80)) Curve nel piano e nello spazio (Pagg. 146-149). Definizione di curva regolare, regolare a tratti. Definizione di vettore tangente. Curve congruenti. Esempi. (Pagg. 229-233).
(28/11/2019-2 ore (56/80)) Regolarità dell’astroide, trattrice, deltoide e cardioide. Loro lunghezze. Costruzione e definizione della lunghezza di una curva (Pagg. 235-236). Esercizi. Integrale curvilineo di prima specie (Pagg. 386-389).
(29/11/2019-3 ore (59/80)) Integrale curvilineo su curve definite a tratti (Pagg. 389-390). Definizione di integrali curvilineo di seconda specie. Interpretazione fisica come lavoro di un campo lungo una curva. Esercizi. Definizione di circuitazione di un campo. Definizione di rotore e di campo irrotazionale. Definizione di campo conservativo. Forme differenziali. Conservativo implica irrotazionale. Irrotazionale su un semplicemente connsesso implica conservativo. Conservativo se e solo se presa ogni curva chiusa la circuitazione è nulla, e se e solo se il lavoro non dipende dal percorso scelto.
(03/12/2019-3 ore (62/80)) Esercizi sui campi vettoriali conservativi e irrotazionali. Ricerca del potenziale mediante metodo della spezzata e dell’integrazione diretta.
(05/12/2019-2 ore (64/80)) Superfici in R^3: definizione ed esempi. Sostegno di una superficie. Superficie semplice e calotta. Superfici in forma cartesiana. (Cap. 4). Superfici regolari, piano tangente, vettore normale e versore normale. Orientabilità. Esempi di superfici orientabili e non orientabili. (Cap. 6)
(06/12/2019-3 ore (67/80)) Integrali superficiali: definizione e spiegazione geometrica. Elemento infinitesimo di area su una superficie regolare. Area di una superficie. (Saltare il Teorema 9.21). (Cap. 9)
(10/12/2019-3 ore (70/80)) Integrali di un campo vettoriale su una superficie regolare. Integrale di flusso di un campo su una superficie orientabile. (Cap. 9) Esercizi.
(12/12/2019-2 ore (72/80)) Formule di Gauss-Green (Teorema del rotore nel piano) e applicazioni. Area di una regione usando le formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza nel piano.
(13/12/2019-3 ore (75/80)) Teorema di Stokes e Teorema della divergenza nello spazio. Esercizi
(19/12/2019-3 ore (77/80)) Esercizi
(20/12/2019-2 ore (80/80)) Esercizi

Alcuni esercizi svolti:

Esercizi successioni di funzioni (Politecnico di Torino)

Esercizi serie numeriche (Politecnico di Torino)

Esercizi serie di funzioni (svolti da me)

Esercizi serie di potenze (Politecnico di Torino)

Esercizi serie di potenze

Limite fatto a lezione (dettagli)

Limite

Esercizi integrali curvilinei prima e seconda specie (PoliTo)

Esercizi svolti su integrali superficiali (PoliTo)

Esercizi svolti su Stokes e divergenza

Esercitazione analisi 2 del 7 dicembre 2019

Esercitazione analisi 2 del 14 Dicembre 2019

Integrazione al libro:

Prerequisiti:

Analisi Matematica 1
Algebra elementare (equazioni e disequazioni di ogni grado di cui è nota la formula risolutiva e programma di liceo)
Geometria e Algebra (in particolare, autovalori e autovettori di endomorfismi, coniche, quadriche, forma parametrica di rette e piani)

Materiale didattico:

(ADOTTATO) Claudio Canuto-Anita Tabacco, “Analisi Matematica II Teoria ed Esercizi”, 2014, 2a edizione, Springer
(CONSULTAZIONE) Pagani-Salsa, “Analisi Matematica 2”, 2a edizione, Zanichelli
(CONSULTAZIONE) Marcellini-Sbordone-Fusco, “Elementi di Analisi Matematica 2”, Liguori Editore
Salsa-Squellati, Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli

Testi d’esame + esiti:

simulazione primo parziale analisi 2

Correzione simulazione primo parziale C

Correzione simulazione A e B Correzione massimo e minimo

simulazione secondo parziale analisi 2 – traccia soluzione simulazioni a e b analisi 2

simulazione in classe secondo parziale + totale analisi 2 – Soluzione simulazione totale analisi 2

scritto primo parziale 06 novembre 2019 – Esiti scritto primo parziale 06 novembre 2019 – Traccia soluzione primo parziale

scritto secondo paziale 7 gennaio 2020– Esiti parziali e ammissioni orali – Elenco orali gennaio 2020 – Traccia soluzione Secondo parziale

scritto 20 gennaio 2020 – Esiti scritto 20 gennaio 2020 e ammissioni orali

scritto 3 febbraio 2020 – Esiti scritto 3 febbraio 2020 e ammissioni orali

scritto 17 febbraio 2020 – Esiti scritto 17 febbraio 2020 e ammissioni orali

Esiti test moodle 1 luglio 2020